Binomische Formeln

Allgemein

Die binomischen Formeln geben an, was (a + b)ⁿ ausmultipliziert ergibt.

• 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• 2. binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• 3. binomische Formel: (a - b) * (a + b) = a² - b²

Binomische Formeln höheren Grades

Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben. Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten, die mittels des Pascalschen Dreiecks leicht zu bestimmen sind. Um die binomische Formel des dritten, vierten, fünften oder gar zehnten Grades zu ermitteln, muss man zwei Schritte anwenden:

• Ermitteln der Exponenten:
  Bei Grad n fängt man mit aⁿ an. Im nächsten Summanden kommt dann a^(n-1)*b vor, dann a^(n-2)*b² usw. bis bⁿ. Der Exponent von a wird also pro Summand um 1 kleiner, der Exponent von b pro Summand um 1 größer.
• Ermitteln der sogenannten Binominalkoeffizienten:
  Die Zahlen vor den Faktoren a und b, die Koeffizienten, ermittelt man mit Hilfe des Pascal´schen Dreiecks. Dies wird folgendermaßen gebildet:
  Die Spitze des Dreiecks bildet die 1, die 2. Zeile lautet "1 1". Jede Zeile beginnt mit einer 1 und endet mit einer 1. Die Zahlen dazwischen werden aus der Summe der beiden Zahlen in der vorhergehenden Zeile gebildet.
  Für (a + b)⁵ lauten die Koeffizienten also 1, 5, 10, 10, 5, 1. Also:
  (a + b)⁵ = a⁵ + 5aˆ4b + 10aˆ3b² + 10a;2ˆ2b³ + 5ab⁴ + b⁵

Quadratische Ergänzung

Um die Gleichung x² + 4x + 4 = 0 zu lösen, bringt man die ausmultiplizierte Form der binomischen Formeln zurück zur faktoriellen Form. Dadurch erhält man: (x + 2)² = 0.

Probe: (x + 2)² = x² + 2*x*2 + 2² = x² + 4x + 4.

Von diesem Ausdruck kann man nun die Wurzel ziehen und erhält: x + 2 = 0 ⇒ x = -2.

Die Lösung der Gleichung lautet also -2.

Was aber, wenn unsere Gleichung nicht so einfach in die andere binomische Variante umgewandelt werden kann? Was ist zum Beispiel mit:

x² + 4x + 2 = 0

Es gibt keine Zahl p, für die (x + p)² = x² + 4x + 2 gilt.

Wir wissen: In der Mitte steht bei einer binomischen Formlen 2.ten Grades 2ab. Also ist 4x = 2ab.

a ist bei unserer Gleichung x, denn schliesslich kommt ja in unserer Gleichung x² vor, und bei binomischen Formeln a².

Aus 4x = 2ab und a = x folgern wir: 4x = 2xb. Die 4 aus 4x muss also durch 2b entstehen: 2b = 4 ⇒ b = 2.

b muss also 2 sein, damit das mittlere Glied 4x unserer Gleichung stimmt. Jetzt stimmt aber das letzte Glied nicht mehr, da b² = 2² nicht = 2 ist.

Wir helfen uns, in dem wir nichts hinzufügen: Aus x² + 4x + 2 wird x² + 4x + 2 + 2 - 2.

Da wir erst 2 addieren und dann 2 subtrahieren, bleibt der Wert des Terms gleich.
Aber wir können jetzt zusammenfassen zu:

x² + 4x + 4 -2. Und aus einem Teil dieses Terms können wir nun die binomische Formel "rückwärts" bilden:

(x + 2)² - 2 = 0 ⇒ (x + 2)² = 2

⇒ x + 2 = ±√2

⇒ x = -2 ±√2

Mehr im Kapitel Quadratische Gleichungen