Additionssätze Trigonometrie

Berechnung von z₁ · z₂
Formal : Distributivgesetz

z₁ · z₂ = r₁ · (cos α + i · sin α) · r₂ · (cos β + i · sin β)
z₁ · z₂ = (r₁ · cos α + r₁ · i · sin α) · (r₁ · cos β + r2 · i · sin β)
z₁ · z₂ = r₁ · r₁ · cos α · cos β + i · cos α · sin β + i · sin α · cos β - sin α · sin β
z₁ · z₂ = r₁ · r₁ · [(cos α + cos β - sin α · sin β) + i · (cos α · sin β + sin α · cos β) ]
                                   reeller Teil                                    imaginärer Teil

Koeffizientenvergleich

Rechenregel der Multiplikation :

z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · [cos (α + β) + i sin (α + β)]
                         reeller Teil       imaginärer Teil

Folgerung:
(1.) cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
(2.) sin (α + β) = cos α · sin β + sin α · cos β

Daraus die Folgerung:
1.  cos(2 · α) = 2 · cos² α · cos² α
     cos(2 · α) = 1 - 2 α sin² · α
     cos(2 · α) = cos² α · (1 - cos² α) = 2 cos² α - 1

2.  sin(2 · α) = 2 · sin² α · sin² α

Pythagoras der Trigonometrie im Einheitskreis/-winkel

sin² + cos² α = 1
cos² α = 1 - sin² α
sin² α = 1 - cos² α